施瓦茨导数(Schwarzian derivative)

对于解析函数 $f(z)$, 称下面的表达式

\[
\{f,z\}:=\frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)^2
\]

为施瓦茨导数(Schwarzian derivative). 

由于

\[
\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)'=\frac{f'''(z)f'(z)-f''(z)f''(z)}{(f'(z))^2}=\frac{f'''(z)}{f'(z)}-\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)^2,
\]

施瓦茨导数 $\{f,z\}$ 又可写为

\[
\{f,z\}=\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)'-\frac{1}{2}\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)^2.
\]

若令

\[
g(z)=\frac{af(z)+b}{cf(z)+d},
\]

则有

\[
\frac{g'''(z)}{g'(z)}-\frac{3}{2}\biggl(\frac{g''(z)}{g'(z)}\biggr)^2=\frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)^2.
\]

即 $\{g,z\}=\{f,z\}$, 即得到如下命题.

命题.  施瓦茨导数(Schwarzian derivative)在莫比乌斯变换下不变.

对于解析函数 $f(z)$, 若 $s$ 是另一参数, 则根据 M. Barner, 可证明

\[
\{f,t\}=\varphi^{-2}\cdot\Bigl(\{f,z\}+2A^2-2A'\Bigr)
\]

这里 $\varphi=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}z}$, $A=\frac{1}{2}\frac{\varphi'}{\varphi}$.

References:

[1] Schwarzian derivative - Encyclopedia of Mathematics